如图,将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D,若AD=5,DB=7,则BC的长是______.

问题描述:

如图,将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D,若AD=5,DB=7,则BC的长是______.

连接CA、CD;
根据折叠的性质,得:

CB
=
BDC

∴∠CAB=∠CBD+∠BCD;
∵∠CDA=∠CBD+∠BCD(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∴∠CAD=∠CDA,即△CAD是等腰三角形;
过C作CE⊥AB于E,则AE=DE=2.5;
∴BE=BD+DE=9.5;
在Rt△ACB中,CE⊥AB,根据射影定理,得:
BC2=BE•AB=9.5×12=114;
故BC=
114

答案解析:根据折叠的性质知:
CB
=
BDC
;若连接CD、AD,则∠DBC+∠BCD=∠CAD,即∠CAD=∠CDA;过C作AB的垂线,设垂足为E,则DE=
1
2
AD,由此可求出BE的长,进而可在Rt△ABC中,根据射影定理求出BC的长.
考试点:垂径定理;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.
知识点:此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质;能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形,是解答此题的关键.