一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数y=kx的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD．（1）若点A，B在反比例函数y=kx的图象的同一分支上，如图1，试证明：①S四边形AEDK=S四边形CFBK；②AN=BM．（2）若点A，B分别在反比例函数y=kx的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．

问题描述：

一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数y=

的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD．

（1）若点A，B在反比例函数y=

的图象的同一分支上，如图1，试证明：
①S_{四边形AEDK}=S_{四边形CFBK}；②AN=BM．
（2）若点A，B分别在反比例函数y=

的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．

答

（1）证明：①∵AC⊥x轴，AE⊥y轴，
∴四边形AEOC为矩形．
∵BF⊥x轴，BD⊥y轴，
∴四边形BDOF为矩形．
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴四边形AEDK，DOCK，CFBK均为矩形．（1分）
∵OC=x₁，AC=y₁，x₁•y₁=k，
∴S_矩形AEOC=OC•AC=x₁•y₁=k
∵OF=x₂，FB=y₂，x₂•y₂=k，
∴S_矩形BDOF=OF•FB=x₂•y₂=k．
∴S_矩形AEOC=S_矩形BDOF．
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC-S_矩形DOCK，S_矩形CFBK=S_矩形BDOF-S_矩形DOCK，
∴S_矩形AEDK=S_矩形CFBK．（2分）
②由（1）知：S_矩形AEDK=S_矩形CFBK．
∴AK•DK=BK•CK．
∴

＝

．（4分）
∵∠AKB=∠CKD=90°，
∴△AKB∽△CKD．（5分）
∴∠CDK=∠ABK．
∴AB∥CD．（6分）
∵AC∥y轴，
∴四边形ACDN是平行四边形．
∴AN=CD．（7分）
同理BM=CD．
∴AN=BM．（8分）
（2）AN与BM仍然相等．（9分）
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC+S_矩形ODKC，S_矩形BKCF=S_矩形BDOF+S_矩形ODKC，
又∵S_矩形AEOC=S_矩形BDOF=k，
∴S_矩形AEDK=S_矩形BKCF．（10分）
∴AK•DK=BK•CK．
∴

＝

．
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK．
∴∠CDK=∠ABK．
∴AB∥CD．（11分）
∵AC∥y轴，
∴四边形ANDC是平行四边形．
∴AN=CD．
同理BM=CD．
∴AN=BM．（12分）
答案解析：点A，B在反比例函数y=

的图象上，所以矩形AEOC、矩形BDOF面积相等，由图看出矩形OCKD是它们的公共部分，由此可知S_{四边形AEDK}=S_{四边形CFBK}，根据面积为长×宽，易得AK•DK=BK•CK可知AB∥CD，从而四边形ACDN、BDCM为平行四边形，所以AN=CD=BM．
考试点：反比例函数综合题．

知识点：此题综合考查了反比例函数的性质，平行四边形等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．

相关推荐