垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线f（x）=x3+3x2-1相切的直线l与曲线f（x）及y轴所围成的图形的面积是______．
问题描述：
垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线f（x）=x3+3x2-1相切的直线l与曲线f（x）及y轴所围成的图形的面积是______．
答
设直线l的方程为y=-3x+m，切点为（n，n3+3n2-1），
则由题意可得3n2+6n=-3，∴n=-1，
故切点为（-1，1），代入切线方程 y=-3x+m可得m=-2，
直线l的方程为y=-3x-2，
∴直线l与曲线f（x）及y轴所围成的图形的面积是
[(x3+3x2−1)−(−3x−2)]dx=
∫
0
−1
(x+1)3dx=
∫
0
−1
(x+11 4
=
)4|
0
−1
1 4
故答案为：
1 4
答案解析：先求直线l的方程，再求直线l与曲线f（x）及y轴所围成的图形的面积．
考试点：定积分．
知识点：本题考查定积分，考查导数知识的运用，解题的关键是确定切线方程，正确表示图形面积，属于中档题．