以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边△ABD,△BEC,△ACF.证明(1)ADEF为平行四边形.(2)当△满足什么条件时,ADEF是菱形?矩形?

问题描述:

以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边△ABD,△BEC,△ACF.证明(1)ADEF为平行四边形.
(2)当△满足什么条件时,ADEF是菱形?矩形?

(1)在△ABC和△DBE中
AB=AD
∠ABC=∠EBC-∠EAB,∠DBE=∠DBA-∠EBA
因为∠EBC=∠DBE=60°
所以∠ABC=∠DBE
BC=BE
因此△ABC≌△DBE,DE=AC。
△ACF是等边三角形,所以AF=AC=DE
在△ABC和△FEC中
AC=FC
∠ACB=∠ECB-∠ECA
∠FCE=∠FCA-∠ECA
因为∠ECB=∠FCA=60°
所以∠ACB=∠FCE
BC=EC
因此△ABC≌△FEC,EF=AB
因为△ABD是等边三角形,所以AD=AB=EF
四边形ADFE两组对边分别相等,是平行四边形
(2)如果平行四边形ADEF是矩形,则∠DAF=90°
因为∠DAF=360°-∠DAB-∠FAC-∠BAC=240°-∠BAC
所以∠BAC=150°当△ABC中∠BAC=150°,四边形ADEF是矩形
(3)当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时,四边形ADEF是菱形
理由:由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°。即D、A、F三点共线,四边形ADEF不存在)

先证明△BDE≌△BAC,可得DE=AC,而AC=AF,故AF=DE,同理,AD=EF,四边形ADEF为平行四边形.
证明:∵△ABD,△BEC,△ACF是等边三角形
∴BD=AB,BC=BE,AC=AF,∠ABD=∠EBC=60°
∴∠ABD-∠ABE=∠EBC-∠ABE
即∠EBD=∠ABC
在△BDE和△BAC中
BD=AB,∠EBD=∠ABC,BC=BE
∴△BDE≌△BAC
∴DE=AC,
又∵AC=AF
∴DE=AF
同理,AD=EF
∴四边形ADEF是平行四边形
(2)要使平行四边形ADEF是菱形,则需一组临边相等,如AD=AF,那需AB=AC,所以AB=AC时四边形ADEF是菱形.
要使平行四边形ADEF是矩形,则需要有一个内角是直角,如∠DAF=90°,又∠DAB=∠FAC=60°,所以∠BAC=150°