如图,在三角形ABC中,角BAC=90°,AD⊥BC于D,BF平分∠ABC交于E点,交AC于F点,求证角AEF=角AFE
问题描述：
如图,在三角形ABC中,角BAC=90°,AD⊥BC于D,BF平分∠ABC交于E点,交AC于F点,求证角AEF=角AFE
答
过F作FG垂直BC于G。
因为AD垂直BC，FG垂直BC
所以AD∥FG，即AE∥FG（1）
因为BF平分角ABC，
角BAC=角BGF=90°
BF=BF
所以△ABF≌△GBF（HL）
所以AF=FG（2）
综合（1）、（2）
四边形AEFG为菱形。
所以AE=EF
由等腰三角形性质定义，
角AEF=角AFE
答
∵∠BAC＝90∴∠ABF+∠AFB＝90∵AD⊥BC∴∠CBF+∠BED＝90又∵BF平分∠ABC∴∠ABF＝∠CBF∴∠AFB＝∠BED∵∠BED＝∠AEF∴∠AFB＝∠AEF∴AE＝AF
答
证明：
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=∠EBD
在Rt△ABF中
∠AFE=90°-∠ABF
在Rt△EBD中
∠BED=90°-∠EBD
∴∠AFE=∠BED
又∵∠BED=∠AEF
∴∠AEF=∠AFE