如图,在三角形ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点E,求证AD垂直EF

问题描述:

如图,在三角形ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点E,求证AD垂直EF

只是垂直吗?没有平分吗?
证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
∴D在线段EF的垂直平分线上.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED=∠AFD=90°,
在Rt△ADE和Rt△ADF中, {AD=AD,DE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).
∴AE=AF.
∴A点在EF的垂直平分线上.
∵两点确定一条直线,
∴AD是线段EF的垂直平分线.
∴AD垂直EF

∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠AED=∠AFD=90°
∵AD是角BAC的平分线
∴∠DAE=∠DAF
∵AD=AD
∴△ADE ≌△ADF
∴AE=AF DE=DF
∴点A和点D在EF的垂直平分线上
∴AD是EF的垂直平分线