已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；（3）求图中阴影部分的面积．
问题描述：
已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥
BC，垂足为F
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
答
知识点：此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况．
证明：（1）连接DO．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°．
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形．
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠C=30°，（2分）
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，
∴DF为⊙O的切线；（3分）
（2）∵△OAD是等边三角形，
∴AD=AO=
AB=2．1 2
∴CD=AC-AD=2．
Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴CF=
CD=1．1 2
∴DF=
＝
CD2−CF2
；（5分）
3
（3）连接OE，由（2）同理可知CE=2．
∴CF=1，
∴EF=1．
∴S直角梯形FDOE=
（EF+OD）•DF=1 2
，3
3
2
∴S扇形OED=
=60π×22
360
，2π 3
∴S阴影=S直角梯形FDOE-S扇形OED=
-3
3
2
．（7分）2π 3
答案解析：（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；
（2）由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；
（3）连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE-S扇形OED求得阴影部分的面积．
考试点：扇形面积的计算；切线的判定．
知识点：此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况．