设k>1,f(x)=k(x-1)(x∈R).在平面直角坐标系xOy中,函数y=f(x)的图象与x轴交于A点,它的反函数y=f-1(x)的图象与y轴交于B点,并且这两个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积是3,则k等于( )A. 3B. 32C. 43D. 65
问题描述:
设k>1,f(x)=k(x-1)(x∈R).在平面直角坐标系xOy中,函数y=f(x)的图象与x轴交于A点,它的反函数y=f-1(x)的图象与y轴交于B点,并且这两个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积是3,则k等于( )
A. 3
B.
3 2
C.
4 3
D.
6 5
答
知识点:本题主要考查反函数,反函数是函数知识中重要的一部分内容.对函数的反函数的研究,我们应从函数的角度去理解反函数的概念,从中发现反函数的本质,并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题.
根据题意画出图形,如图.
由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称,
所以这两个函数的图象交于P点必在直线y=x上.
且A,B两点关于y=x对称,
∴AB⊥OP
∴四边形OAPB的面积=
AB×OP=1 2
×1 2
×OP=3,
2
∴OP=3
.
2
∴P(3,3)代入f(x)=k(x-1)得:
k=
3 2
故选B.
答案解析:先根据题意画出图形,由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称,从而两个函数的图象交于P点必在直线y=x上.且A,B两点关于y=x对称,利用四边形OAPB的面积=
AB×OP,求得P(3,3)从而求得k值.1 2
考试点:反函数.
知识点:本题主要考查反函数,反函数是函数知识中重要的一部分内容.对函数的反函数的研究,我们应从函数的角度去理解反函数的概念,从中发现反函数的本质,并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题.