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已知a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，求证：（1a-1）（1b-1）（1c-1）≥8．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 04:23:16
问题描述：

已知a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，求证：（

1
a
-1）（
1
b
-1）（
1
c
-1）≥8．

答

证明：∵a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，
∴（

1
a
-1）（
1
b
-1）（
1
c
-1）=
(1−a)(1−b)(1−c)
abc

=
(b+c)(a+c)(a+b)
abc
≥
2
 bc
•2
 ac
•2
 ab
abc
=8．
当且仅当a=b=c=
1
3
时等号成立．
答案解析：先将待证不等式的左边通分后，再利用1=a+b+c进行代换，最后利用基本不等式进行了放缩即得．
考试点：不等式的证明．
知识点：本题主要考查了不等式的证明、基本不等式的应用，属于基础题．

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