已知数列{an}与圆C1：x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2：x2+y2+2x+2y-2=0，若圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）若a1=-3，则当圆C1的半

分类: 作业答案 • 2023-01-18 11:22:00

问题描述：

已知数列{a_n}与圆C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0和圆C₂：x²+y²+2x+2y-2=0，若圆C₁与圆C₂交于A，B两点且这两点平分圆C₂的周长．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若a₁=-3，则当圆C₁的半径最小时，求出圆C₁的方程．

答

（1）圆C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0转化为：(x-an)2+(y+an+1)2=an2+an+12+1，
圆心坐标为：（a_n，a_n+1），半径为：

an2+an+12+1

，
圆C₂，（x+1）²+（y+1）²=4，圆心坐标为：（-1，-1），半径为2，
圆C₁与圆C₂交于A，B两点且这两点平分圆C₂的周长．
则：|C1C2|2+r22=r12，
即：(an+1)2+(an+1-1)2+4=an2+an+12+1，
求得：an+1-an=

（常数），
所以：数列{a_n}是等差数列，
（2）由于a₁=-3，
根据（1）的结论求得：an=

，
r=

an2+an+12+1

50n2-170n+161

，
当n=2时，r最小，所得的圆的方程为：x²+y²+x+4y-1=0．

已知数列{an}与圆C1：x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2：x2+y2+2x+2y-2=0，若圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长． （1）求证：数列{an}是等差数列； （2）若a1=-3，则当圆C1的半