已知a,b,c>0,a+b+c=1,求证,（1/a-1）(1/b-1)(1/c-1)>=8
问题描述：
已知a,b,c>0,a+b+c=1,求证,（1/a-1）(1/b-1)(1/c-1)>=8
答
将a+b+c=1带入方程中可得
(（a+b+c)/a-1）((a+b+c)/b-1)((a+b+c)/c-1)
=[(b+c)/a][(a+c)/b][(a+b)/c]
打开括号，化简得：
b/c+b/a+c/a+a/c+a/b+c/b+2
有均值定理可知
b/c+c/b≥2根号下（b/c*c/b）=2
同理：b/a+a/b≥2
c/a+a/c≥2
所以b/c+b/a+c/a+a/c+a/b+c/b+2≥8
答
证：已知a+b+c=1,a,b,c,属于正实数,
∵（1/a-1)
=(1-a)/a
=(a+b+c-a)/a
=(b+c)/a
又(√b-√c)^2≥0
b+c≥2√(bc)
∴（1/a-1)=(b+c)/a≥2√(bc)/a
同理
(1/b-1)≥2√(ac)/b
(1/c-1)≥2√(ab)/c
故(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥[2√(bc)/a]*[2√(ac)/b]*[2√(ab)/c]
=8 √[(a^2)*(b^2)8(c^2)]/(abc)
=8
∴(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥8