四边形ABCD内接于圆O,且AC⊥BD,AC与BD交于E,求证：AB^2+CD^2=BC^2+AD^2=定值
问题描述：
四边形ABCD内接于圆O,且AC⊥BD,AC与BD交于E,求证：AB^2+CD^2=BC^2+AD^2=定值
答
E点与A、B、C、D四个点组成四个直角三角形：
所以有
AB^2=AE^2+BE^2
CD^2=CE^2+DE^2
BC^2=BE^2+CE^2
AD^2=AE^2+DE^2
所以：AB^2+CD^2=BC^2+AD^2=（定值）=AE^2+BE^2+CE^2+DE^2
答
这个定值就是直径的平方
做直径CF,连接AF,BF,设⊙O 的半径为R
∵CE为⊙O的直径
∴∠EAC=90°∠CBF=90°
∵AC⊥BD
∴EA‖BD
∴弧AD=弧BE
∴AD=BE
在Rt△BFC中,BC^2+BF^2=CF^2=4R^2
∴BC^2+AD^2=CF^2=4R^2
同理可证：AB^2+CD^2=4R^2