已知首项系数不相等的两个二次方程（a-1）x2-（a2+2）x+（a2+2a）=0及（b-1）x2-（b2+2）x+（b2+2b）=0 （a、b是正整数）有一个公共根，求aa+bba−b+b−a的值．

答

由方程（a-1）x²-（a²+2）x+（a²+2a）=0得，[（a-1）x-（a+2）]（x-a）=0
∴x₁=

a+2

a−1

，x₂=a；
同理可由方程（b-1）x²-（b²+2）x+（b²+2b）=0 解得x₁=

b+2

b−1

，x₂=b；
∵a，b为不相等的正整数，而两个方程有一个公共根．
∴

a+2

a−1

=b，则b=1+

3

a−1

，所以a-1只能为1或3，即a=2，b=4，或a=4，b=2．
（若有a=

b+2

b−1

也是同样的结果）
当a=2，b=4，

aa+bb

a−b+b−a

=

22+44

2−4+4−2

=2080．
（把a=4，b=2代入计算的结果一样）
所以

aa+bb

a−b+b−a

的值为2080．
答案解析：先利用因式分解法求出两个方程的解．x₁=

a+2

a−1

，x₂=a；x₁=

b+2

b−1

，x₂=b；然后根据a、b是不相等的正整数和两个方程有一个公共根，只能有

a+2

a−1

=b，再通过整除性求出a，b的值，最后代入所求代数式计算即可．
考试点：根的判别式；分式的化简求值；负整数指数幂．
知识点：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考查了因式分解法解一元二次方程、整数的整除性质和整数幂的意义．