求 微分方程 y''-5y'+6y=xe^(3x) 的通解

你好！
特征方程：λ² - 5λ + 6 =0
λ=2，λ=3
相应的齐次方程有通
C₁e^(2x) + C₂e^(3x)
设原方程有特解y= (A₁x +A₂x²)*e^(3x)
y' = (A₁+ 2A₂x) e^(3x) + (A₁x+A₂x²)*3e^(3x)
= [A₁+(3A₁+2A₂)x +3A₂x²] e^(3x)
y'' = (3A₁+2A₂+6A₂x) e^(3x) + [A₁+(3A₁+2A₂)x +3A₂x²] *3e^(3x)
= [ 6A₁+2A₂+(9A₁+12A₂)x +9A₂x² ] e^(3x)
代入原方程：
[ 6A₁+2A₂+(9A₁+12A₂)x +9A₂x² ] - 5 [A₁+(3A₁+2A₂)x +3A₂x²] + 6 (A₁x +A₂x²) = x
【e^(3x)约掉了】
整理得：A₁+2A₂ +2A₂x = x
∴A₁+2A₂ =0 2A₂=1
A₁ = -1 A₂ = 1/2
即原方程有特y = (x²/2 - x) e^(3x)
故原方程的通解为：y = (x²/2 - x) e^(3x) + C₁e^(2x) + C₂e^(3x)

对应的齐方程的特征方程为：k^2-5k+6=0，解得：k=3,2
齐方程通解为y=C1*e^(3x)+C2*e^(2x)，
因3是特征方程的单根，故设特解形式为：Y=(Ax^2+Bx)e^(3x),带入求出A，B即可。
通解为：y=C1*e^(3x)+C2*e^(2x)+(Ax^2+Bx)e^(3x)。

y''-5y'+6y=xe^(3x)
特征值方程：λ^2-5λ+6=0
(λ-2)*(λ-3)=0
所以λ=2 或λ=3
y''-5y'+6y=0 =>y=C1e^(2x)+C2e^(3x)
令y0(x)=x(ax+b)e^(3x)=(ax^2+bx)e^(3x)
把y0(x)=(ax^2+bx)e^(3x)代入微分方程 y''-5y'+6y=xe^(3x)
得 ：a=1/2 ,b=-1
所以微分方程的通解是：C1e^(2x)+C2e^(3x)+(x^2/2-x)e^(3x)