求线性微分方程y'-2y=-2x+3的通解
问题描述：
求线性微分方程y'-2y=-2x+3的通解
答
类型为 y'+p(x)y=q(x). p(x)=-2,q(x)=-2x+3,
-2x是p(x)的一个原函数.
再求∫q(x)e^(-2x)dx=∫(-2x+3)e^(-2x)dx=∫(-2x)e^(-2x)dx+3∫e^(-2x)dx=[∫(-2x)e^(-2x)dx]-(3/2)e^(-2x)
而其中第一项
∫(-2x)e^(-2x)dx=-(1/2）∫(-2x)e^(-2x)d(-2x)=-(1/2）∫(-2x)d(e^(-2x))
=-(1/2）[(-2x)e^(-2x)-∫(e^(-2x)d(-2x)]=-(1/2）[(-2x)e^(-2x)-(e^(-2x)]+C0,(C0为任意常数)
所以∫q(x)e^(-2x)dx=xe^(-2x)-e^(-2x)+C1,(C1为任意常数)
由解的公式,得：
y=e^(2x)[C+∫q(x)e^(-2x)dx]=e^(2x)[C+xe^(-2x)-e^(-2x)],(C为任意常数)
故通解为：y=Ce^(2x)+x-1,(C为任意常数)
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(代入方程验证,成立.)