cos(x+a)+sin(x+b)+根号下2cosx=0恒成立,a,b为常数.求cos a.

问题描述:

cos(x+a)+sin(x+b)+根号下2cosx=0恒成立,a,b为常数.求cos a.

cos(x+a)+sin(x+b)+√2cosx=0
cosxcosa-sinxsina+sinxcosb+cosxsinb+√2cosx=0
(cosa+sinb+√2)cosx+(cosb-sina)sinx=0
对于任意x,等式恒成立,只有cosx,sinx系数=0
cosa+sinb+√2=0
cosb-sina=0
sinb=-(cosa+√2)
cosb=sina
sin²b+cos²b=1
[-(cosa+√2)]²+sin²a=1
cos²a+2√2cosa+2+sin²a=1
2√2cosa+3=1
2√2cosa=-2
cosa=-√2/2

既然该方程恒成立,分别以x=0和x=π/2代入:
cosa+sinb+√2=0 ………………(1)
-sina+cosb=0 ………………(2)
由(1)得 sinb= -√2 - cosa (3)
(2) 得 cosb=sina (4)
(3)^2+(4)^2得:
1=2+2√2 cosa +1
∴ cosa= -(√2)/2