已知命题P:方程x2m+y2=1表示焦点在y轴上的椭圆;命题Q:直线y=x-1与抛物线y=mx2有两个交点.(1)若命题Q为真命题,求实数m的取值范围;(2)若命题P与Q中有且仅有一个为真命题,求实数m的取值范围.
问题描述:
已知命题P:方程
+y2=1表示焦点在y轴上的椭圆;命题Q:直线y=x-1与抛物线y=mx2有两个交点.x2 m
(1)若命题Q为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题P与Q中有且仅有一个为真命题,求实数m的取值范围.
答
命题P:方程
+y2=1表示焦点在y轴上的椭圆⇔0<m<1.x2 m
(1)若命题Q:直线y=x-1与抛物线y=mx2有两个交点⇔mx2=x-1有两个交点
⇔mx2-x+1=0有两个不同实根,得
,∴m<
m≠0 1-4m>0
且m≠0,1 4
故m的取值范围是(-∞,0)∪(0,
)1 4
(2)若命题P与Q中有且仅有一个为真命题,则P真Q假或P假Q真
若P真Q假,得
≤m<1;若P假Q真,得m<0.1 4
故m的取值范围是(-∞,0)∪[
,1)1 4
答案解析:先对两个命题分别化简,求出命题P与Q对应的m的取值范围.
考试点:复合命题的真假
知识点:本题以圆锥曲线与直线为载体考查了命题的真假,属于基础题.