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设abc为不全等的正数,abc等于1,求证1/a+1/b+1/c＞a^(1/2)+b^(1/2)+c^(1/2)

分类: 作业答案 • 2021-12-20 01:26:57
问题描述：

设abc为不全等的正数,abc等于1,求证1/a+1/b+1/c＞a^(1/2)+b^(1/2)+c^(1/2)

答

a^(1/2)+b^(1/2)+c^(1/2)=a(bc)^(1/2)+b(ac)^(1/2)+c(ab)^(1/2)
=1/c+1/b+1/a
得证

答

因为abc=1
所以,1/a+1/b+1/c
=abc/a+abc/+abc/c
=bc+ac+ab
=1/2(ab+bc+bc+ca+ca+ab)
＞1/2[2(ab^2c)^(1/2)+2(bc^2a)^(1/2)+2(a^2bc)^(1/2)] (因为abc不全相等,所以不能取等号)
=1/2[2*b^(1/2)+2*c^(1/2)+2*a^(1/2)] (因为abc=1)
=b^(1/2)+c^(1/2)+a^(1/2)

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