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求证基本不等式：9(a+b)(b+c)(c+a)大于等于8(ab+bc+ca)(a+b+c)

分类: 作业答案 • 2021-12-20 01:18:42
问题描述：

求证基本不等式：9(a+b)(b+c)(c+a)大于等于8(ab+bc+ca)(a+b+c)

答

(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c-a)(a+b+c-b)(a+b+c-c)=(a+b+c)(ab+ac+bc)-abc
9(a+b+c)(ab+ac+bc)-9abc-8(ab+bc+ca)(a+b+c)=(a+b+c)(ab+ac+bc)-9abc
a+b+c≧3(abc)^(1/3)
ab+ac+bc≧3(abc)^(2/3)
(a+b+c)(ab+ac+bc)≧9abc

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