椭圆x^2/25+y^2/16=1上求一点P,使它到直线4x+3y+36=0的距离最小,并求最小值
问题描述：
椭圆x^2/25+y^2/16=1上求一点P,使它到直线4x+3y+36=0的距离最小,并求最小值
答
可设P(5cost,4sint)，其中0距离d=|4*5cost+3*4sint+36|/(4^2+3^2)^(1/2)
=(4/5)|5cost+3sint+9|
=(4/5)|(根号34)sin(t+k)+9|, 其中cosk=(3/34)(根号34), sink=(5/34)(根号34), k=arccos[(3/34)(根号34)]
=(4/5)[9+(根号34)sin(t+k)]
当t+k=(3pi/2), t=(3pi/2)-k 时，
d最小=(4/5)(9-(根号34))
此时,P(5cos((3pi/2)-k), 4sin((3pi/2)-k)),
即P(-5sink, -4cosk)
即：P(-(25/34)(根号34),-(6/17)(根号34))
答
将椭圆的方程写成参数方程为x=5cosQ,y=4sinQ
则可设P（5cosQ,4sinQ)
由点到直线的距离公式,得d=|20cosQ+12sinQ+36|/5>=（36-4根号34)/5
最小值为(36-4根号34)/5