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若双曲线x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）上横坐标为3a2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是______．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 01:16:13
问题描述：

若双曲线

x2
a2
−
y2
b2
＝1（a＞0，b＞0）上横坐标为
3a
2
的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是______．

答

由题意可知(

3a
2
−
a2
c
)e＝
3c
2
−a＞
3a
2
+
a2
c
，∴
3c
2a
−1＞
3
2
+
a
c
，
∴
3e
2
＞
5
2
+
1
e
，∴3e2-5e-2＞0，
解得e＞2或e＜−
1
3
（舍去）．故双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．
答案：（2，+∞）．
答案解析：双曲线
x2
a2
−
y2
b2
＝1（a＞0，b＞0）上横坐标为
3a
2
的点到右焦点的距离=(
3a
2
−
a2
c
)e＝
3c
2
−a，双曲线
x2
a2
−
y2
b2
＝1（a＞0，b＞0）上横坐标为3a/2的点到左准线的距离=
3a
2
+
a2
c
，由
3c
2
−a＞
3a
2
+
a2
c
能够推导出双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．
考试点：双曲线的简单性质．
知识点：本题考查双曲线的第二定义和离心率，解题的关键是准确把握双曲线
x2
a2
−
y2
b2
＝1（a＞0，b＞0）上横坐标为
3a
2
的点到右焦点的距离．

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