椭圆的焦半径公式的推导

证明：
|PF1|²
=(x - c)² + y²
=[a²(x - c)² + a²y²]/a²
=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a² /***--根据b²x² + a²y² = a²b² ***/
=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²b² - b²x²]/a²
=[(a²-b²)x² - 2a²cx + a²(b² + c²)]/a²
=[c²x² -2a²cx + a^4]/a²
=(a² - cx)²/a²
∴PF1 = (a² - cx)/a = a - (c/a)x = a - ex
同理可证：PF2 = a + ex

设M（xo，y0）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离，那么(左焦半径)r1=a+ex0，(右焦半径)r2=a -ex0，其中e是离心率。 　　推导：r1/∣MN1∣= r2/∣MN2∣=e 　　可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+x0）= a+ex0，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-x0）= a-ex0。 　　同理：∣MF1∣= a+ex0，∣MF2∣= a-ex0。

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设 s=|PF1|=√[(x+c)^2+y^2]，t=|PF2|=√[(x-c)^2+y^2]，
则 s+t=2a (1)
s^2-t^2=4cx (2)
(2)/(1) 得 s-t=2cx/a=2ex （3）
（1）+（3）并除以2得 s=a+ex，代入可得 t=a-ex 。

|PF1|²=(x - c)² + y²=[a²(x - c)² + a²y²]/a²=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a² /***--根据b²x² + a²y² = ...

焦半径公式的证明： 椭圆的左准线L：x = -(a^2)/c A(x1, y1) 到先说x1>0的情况，直线L：x = -(a^2)/c在y轴左侧，点A(x1, y1)

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