若直角坐标平面内A、B两点满足条件:①点A、B都在f(x)的图象上;②点A、B关于原点对称,则对称点对(A,B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A,B)与(B,A)可看作同一个“姊妹点

问题描述:

若直角坐标平面内A、B两点满足条件:①点A、B都在f(x)的图象上;②点A、B关于原点对称,则对称点对(A,B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A,B)与(B,A)可看作同一个“姊妹点对”).已知函数 f(x)=

x2+2x  x<0
2
ex
    x≥0
,则f(x)的“姊妹点对”有(  )个.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

设P(x,y) (x<0),则点P关于原点的对称点为P(-x,-y),
于是

2
e−x
=−(x2+2x),化为2ex+x2+2x=0,
令φ(x)=2ex+x2+2x,下面证明方程φ(x)=0有两解.
由x2+2x≤0,解得-2≤x≤0,而
2
ex
>0(x≥0),∴只要考虑x∈[-2,0]即可.
求导φ(x)=2ex+2x+2,
令g(x)=2ex+2x+2,则g(x)=2ex+2>0,
∴φ(x)在区间[-2,0]上单调递增,
而φ(-2)=2e-2-4+2<0,φ(-1)=2e-1>0,
∴φ(x)在区间(-2,0)上只存在一个极值点x0
而φ(-2)=2e-2>0,φ(-1)=2e-1-1<0,φ(0)=2>0,
∴函数φ(x)在区间(-2,-1),(-1,0)分别各有一个零点.
也就是说f(x)的“姊妹点对”有两个.
故选B.