已知f(x)=ax2+bx(a≠0)满足f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有两个等根,求f(x)的解析式.

问题描述:

已知f(x)=ax2+bx(a≠0)满足f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有两个等根,求f(x)的解析式.

∵f(x-1)=f(3-x),
∴对称轴是x=1,即

b
2a
=1,①
∵方程f(x)=2x有两个相等的实数根,即ax2+(b-2)x=0有两个相等的实数根,
∴△=(b-2)2=0,
∴b=2,②
由①②,可得,a=-1,b=2,
∴f(x)=-x2+2x.