设函数f(x)的定义域为R,且对于任意实数a,b,都有f(a+b)+f(ab)=2f(a)f(b)

问题描述:

设函数f(x)的定义域为R,且对于任意实数a,b,都有f(a+b)+f(ab)=2f(a)f(b)
求证f(x)为偶函数

设函数f(x)的定义域为R,且对于任意实数a,b,都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),求证f(x)为偶函数?
先根据f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)得到f(-x)=f(x),从而很容易得到函数f(x)的奇偶性.
(1)令a=b=0,得2f(0)=2f²(0).
∵f(0)≠0,∴f(0)=1.
又令a=0,b=x,则f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),
∴f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.先令a=x,b=0,得2f(x)=2f(x)f(0),故f(0)=1;再令a=0,b=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),即f(x)+f(-x)=2f(x),故f(-x)=f(x),f(x)是偶函数.如果f(x)=0恒成立,难道不是偶函数么?额,把这种情况补上。。。