如图,分别以△ABC的边AB,AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,线段BE与CD相交于点O,连接OA. (1)求证:BE=DC; (2)求∠BOD的度数; (3)求证:OA平分∠DOE.

问题描述:

如图,分别以△ABC的边AB,AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,线段BE与CD相交于点O,连接OA.

(1)求证:BE=DC;
(2)求∠BOD的度数;
(3)求证:OA平分∠DOE.

(1)证明:∵△ABD和△ACE都是等边三角形,
∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°,
∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD,
即∠BAE=∠DAC.
在△ABE和△ADC中

AB=AD
∠BAE=∠DAC
AE=AC

∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=DC.
(2)由(1)知:△ABE≌△ADC,
∴∠ADC=∠ABE
∴∠ADC+∠BDO=∠ABE+∠BDO=∠BDA=60°
∴在△BOD中,∠BOD=180°-∠BDO-∠DBA-∠ABE
=180°-∠DBA-(∠ADC+∠BDO)
=180°-60°-60°
=60°.
(3)证明:过点A分别作AM⊥BE,AN⊥DC,垂足为点M,N.
∵由(1)知:△ABE≌△ADC,
∴S△ABE=S△ADC
1
2
•BE•AM=
1
2
•DC•AN

∴AM=AN
∴点A在∠DOE的平分线上,
即OA平分∠DOE.