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椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2组成的三角形的周长为 4+23且∠F1BF2=2π3，则椭圆的方程是______．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:39:26
问题描述：

椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2组成的三角形的周长为 4+2

 3
且∠F1BF2=
2π
3
，则椭圆的方程是______．

答

设长轴为2a，焦距为2c，
则在△F2OB中，由∠F2BO=

π
3
得：c=
 3
2
a，
所以△F2OF1的周长为：2a+2c=4+2
3
，
∴a=2，c=
 3
，∴b2=1
则椭圆的方程是
x2
4
+y2=1或x2+
y2
4
=1．
故答案为：
x2
4
+y2=1或x2+
y2
4
=1．
答案解析：先结合椭圆图形，通过直角三角形△F2OB推出a，c的关系，利用周长得到第二个关系，求出a，c然后求出b，求出椭圆的方程．
考试点：椭圆的标准方程．
知识点：本题主要考查考察查了椭圆的标准方程的求法，关键是求出a，b的值，易错点是没有判断焦点位置．

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