中心在原点，一个焦点为F1（0，50）的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为12，求椭圆的方程．
问题描述：
中心在原点，一个焦点为F1（0，
）的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为
50
，求椭圆的方程． 1 2
答
设椭圆的标准方程为
+y2 a2
=1（a＞b＞0），由F1（0，x2 b2
）得a2-b2=50．
50
把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得（a2+9b2）x2-12b2x+b2（4-a2）=0．
设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则由根与系数的关系得x1+x2=
，12b2
a2+9b2
又AB的中点的横坐标为
，∴1 2
=
x1+x2
2
=6b2
a2+9b2
，1 2
∴a2=3b2，与方程a2-b2=50联立可解出a2=75，b2=25．
故椭圆的方程为
+y2 75
=1．x2 25
答案解析：先根据焦点坐标得出a2-b2=50，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．
考试点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
知识点：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．