双曲线的中心在原点,焦点在X轴上,焦距为8,并且与直线y=1/3(x-4)相交所得弦的中点的横坐标是-2/3,求双曲线方程.
问题描述：
双曲线的中心在原点,焦点在X轴上,焦距为8,并且与直线y=1/3(x-4)相交所得弦的中点的横坐标是-2/3,求双曲线方程.
答
相交所得弦的中点的横坐标是-2/3
所以纵坐标=-14/9
设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1
与直线y=1/3(x-4)相交所得弦端点(x1,y1)(x2,y2)
代入双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1
得
x1^2/a^2-y1^2/b^2=1
x1^2/a^2-y1^2/b^2=1
两式相减得
(x1+x2)(x1-x2)/a^2=(y1+y2)(y1-y2)/b^2
而
x1+x2=-4/3
y1+y2=-28/9
(y1-y2)/(x1-x2)=1/3
所以
7a^2=9b^2
又已知c=4
a^2+b^2=16
解得
a^2=9
b^2=7
双曲线x^2/9-y^2/7=1