设A,B为n阶非零矩阵,且AB=0,则A,B的秩分别为都小于n,我只明白A或B的其中一个小于n.
问题描述：
设A,B为n阶非零矩阵,且AB=0,则A,B的秩分别为都小于n,我只明白A或B的其中一个小于n.
答
反证法：若A的秩等于n,则A可逆 ,于是由AB=0左乘A^(--1)得B=0,矛盾.
若B的秩等于n,则B可逆,由AB=0右乘B^(--1)得A=0,矛盾.这只能说明A，B的秩不能都为n啊。。。是都不为n，不能为n，就是小于n啊。因为秩最大是n，不等于n的话，当然是小于n了。恩，明白了，谢谢啊！能再讲一个方法吗，这是个选择题啊。。。这已经证的很简单了。其实你明白A 和B的地位是完全类似的，AB=0等价于B^TA^T=0，因此只要知道一个秩小于n，另外一个必小于n。