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已知关于x的方程x2−(k+1)x+1/4k2+1＝0的两根是一个矩形两边的长．（1）k取何值时，方程存在两个正实数根？（2）当矩形的对角线长是5时，求k的值．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 20:44:28

问题描述：

已知关于x的方程x2−(k+1)x+

1

4

k2+1＝0的两根是一个矩形两边的长．
（1）k取何值时，方程存在两个正实数根？
（2）当矩形的对角线长是

5

时，求k的值．

答

（1）设方程的两根为x₁，x₂
则△=（k+1）²-4（

1

4

k²+1）=2k-3，
∵方程有两个实数根，∴△≥0，即2k-3≥0，①
k+1＞0，②

1

4

k2＞0 ③
∴综上可知k≥

3

2

∴当k≥

3

2

，方程有两个正实数根．
（2）由题意得：

x1+x2＝k+1

x1x2＝

1

4

k2+1

，
又∵x₁²+x₂²=5，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，
整理得k²+4k-12=0，
解得k=2或k=-6（舍去），
∴k的值为2．