已知双曲线C1:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,抛物线C2的顶点在原点,它的准线与双曲线C1的左准线重合,若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2⊥F1F2,则双曲线C1的离心

问题描述:

已知双曲线C1

x2
a2
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,抛物线C2的顶点在原点,它的准线与双曲线C1的左准线重合,若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2⊥F1F2,则双曲线C1的离心率为______.

设抛物线方程为y2=2px,依题意可知

p
2
=
a2
c

∴p=2×
a2
c

抛物线方程与双曲线方程联立得
x2
a2
2px
b2
=1

把x=c,p=2×
a2
c
,代入整理得e4-2e2-3=0
解得e2=3或-1(舍去)
∴e=
3

故答案为:
3