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已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为左支一点，P到左准线的距离为d，若d，|PF1|，|PF2|成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）A. [1+52，+∞)B. (1，1+52]C. [1+2，+∞)D. (1，1+2]

分类: 作业答案 • 2021-12-19 15:47:49
问题描述：

已知双曲线

x2
a2
−
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为左支一点，P到左准线的距离为d，若d，|PF1|，|PF2|成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）
A. [
1+
 5
2
，+∞)
B. (1，
1+
 5
2
]
C. [1+
 2
，+∞)
D. (1，1+
 2
]

答

∵该双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，又P为左支一点，则|PF2|-|PF1|=2a，
设双曲线的离心率为e，依题意，

|PF1|
d
=
|PF2|
|PF1|
=e，
∵
|PF2|
|PF1|
=e，
∴
|PF2|−|PF1|
|PF1|
=e-1，即
2a
|PF1|
=e-1，
∴|PF1|=
2a
e−1
，又|PF1|≥c-a，
∴
2a
e−1
≥c-a，又c＞a，
∴0＜
c−a
2a
≤
1
e−1
，即
1
2
（e-1）≤
1
e−1
，
∴e-1≤
 2
，又e=
c
a
＞1
∴1＜e≤1+
 2
．
故选D．
答案解析：将等比数列的概念与双曲线的第二定义结合，再利用双曲线的简单性质得到|PF1|与其离心率e的关系，通过不等式|PF1|≥c-a即可求得该双曲线的离心率的取值范围．
考试点：双曲线的简单性质．
知识点：本题考查等比数列的性质，考查双曲线的第二定义及双曲线的简单性质，突出转化思想与不等式的应用，属于中档题．

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