已知双曲线c：x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率为5．（1）求双曲线的方程；（2）若有两个半径相同的圆c1，c2，它们的圆心都在x轴上方且分别在双曲线c的两渐近线上，过双曲线的右焦点且斜率为-1的直线l与圆c1，c2都相切，求两圆c1，c2圆心连线斜率的范围．
问题描述：
已知双曲线c：
−x2 a2
＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率为y2 b2
．
5
（1）求双曲线的方程；
（2）若有两个半径相同的圆c1，c2，它们的圆心都在x轴上方且分别在双曲线c的两渐近线上，过双曲线的右焦点且斜率为-1的直线l与圆c1，c2都相切，求两圆c1，c2圆心连线斜率的范围．
答
（1）由抛物线y2=4x得焦点（1，0），得双曲线的c=1．又e＝ca＝5，a2+b2=c2，解得a2＝15，b2＝45．∴双曲线的方程为5x2−54y2＝1．（2）直线l的方程为x+y-1=0．由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．由已知可设圆c...
答案解析：（1）由抛物线y2=4x得焦点（1，0），得双曲线的c=1．再利用离心率计算公式e＝
＝c a
，及a2+b2=c2，即可解得a，b；
5
（2）利用点斜式得直线l的方程为x+y-1=0．由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．进而可设圆c1：（x-t）2+（y-2t）2=r2，圆c2：（x-n）2+（y+2n）2=r2，其中t＞0，n＜0．
因为直线l与圆c1，c2都相切，利用点到直线的距离公式可得
＝|t+2t−1|
2
，经过化简可得n与t的关系，再利用斜率计算公式即可得出k=|n−2n−1|
2
，把n与t的关系代入即可得出k的取值方法．2t+2n t−n
考试点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程．
知识点：本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与圆相切、点到直线的距离公式、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．