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已知向量m=（sinx，3sinx），n=（sinx，-cosx），设函数f（x）=m•n．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f（A）+sin（2A-π6）=1，b+c=

分类: 作业答案 • 2021-12-19 20:19:03
问题描述：

已知向量

m
=（sinx，
3
sinx），
n
=（sinx，-cosx），设函数f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f（A）+sin（2A-
π
6
）=1，b+c=7，△ABC的面积为2
3
，求边a的长．

答

（1）由题意得f（x）=sin2x-

3
sinxcosx=
1-cos2x
2
-
3
2
sin2x=
1
2
-sin（2x+
π
6
），
令2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z，
解得：kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
，k∈Z
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]，k∈Z
（2）由f（A）+sin（2A-
π
6
）=1得：
1
2
-sin（2A+
π
6
）+sin（2A-
π
6
）=1，
化简得：cos2A=-
1
2
，
又因为0＜A＜
π
2
，解得：A=
π
3
，
由题意知：S△ABC=
1
2
bcsinA=2
3
，解得bc=8，
又b+c=7，所以a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc（1+cosA）=49-2×8×（1+
1
2
）=25，
∴a=5

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