已知向量m=(sinx,3sinx),n=(sinx,-cosx),设函数f(x)=m•n.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,A为锐角,若f(A)+sin(2A-π6)=1,b+c=
问题描述:
已知向量
=(sinx,m
sinx),
3
=(sinx,-cosx),设函数f(x)=n
•m
.n
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,A为锐角,若f(A)+sin(2A-
)=1,b+c=7,△ABC的面积为2π 6
,求边a的长.
3
答
(1)由题意得f(x)=sin2x-
sinxcosx=
3
-1-cos2x 2
sin2x=
3
2
-sin(2x+1 2
),π 6
令2kπ+
≤2x+π 2
≤2kπ+π 6
,k∈Z,3π 2
解得:kπ+
≤x≤kπ+π 6
,k∈Z2π 3
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ+
,kπ+π 6
],k∈Z2π 3
(2)由f(A)+sin(2A-
)=1得:π 6
-sin(2A+1 2
)+sin(2A-π 6
)=1,π 6
化简得:cos2A=-
,1 2
又因为0<A<
,解得:A=π 2
,π 3
由题意知:S△ABC=
bcsinA=21 2
,解得bc=8,
3
又b+c=7,所以a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc(1+cosA)=49-2×8×(1+
)=25,1 2
∴a=5