已知向量m=(sinx,3sinx),n=(sinx,-cosx),设函数f(x)=m•n.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,A为锐角,若f(A)+sin(2A-π6)=1,b+c=

问题描述:

已知向量

m
=(sinx,
3
sinx),
n
=(sinx,-cosx),设函数f(x)=
m
n

(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,A为锐角,若f(A)+sin(2A-
π
6
)=1,b+c=7,△ABC的面积为2
3
,求边a的长.

(1)由题意得f(x)=sin2x-

3
sinxcosx=
1-cos2x
2
-
3
2
sin2x=
1
2
-sin(2x+
π
6
),
令2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
2
,k∈Z,
解得:kπ+
π
6
≤x≤kπ+
3
,k∈Z
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ+
π
6
,kπ+
3
],k∈Z
(2)由f(A)+sin(2A-
π
6
)=1得:
1
2
-sin(2A+
π
6
)+sin(2A-
π
6
)=1,
化简得:cos2A=-
1
2

又因为0<A<
π
2
,解得:A=
π
3

由题意知:S△ABC=
1
2
bcsinA=2
3
,解得bc=8,
又b+c=7,所以a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc(1+cosA)=49-2×8×(1+
1
2
)=25,
∴a=5