已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1． （1）当k=1时，求函数f（x）的最大值； （2）若函数f（x）没有零点，求实数k的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．
（1）当k=1时，求函数f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）没有零点，求实数k的取值范围．
答
（1）当k=1时，f（x）=ln（x-1）-（x-1）+1=ln（x-1）-x+2，f′(x)＝
，2−x x−1
函数f（x）的定义域为（1，+∞），令f′（x）=0，求得x=2，
∵当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，2）内是增函数，在（2，+∞）上是减函数
∴当x=2时，f（x）取最大值f（2）=0．
（2）函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1没有零点，
即函数y=ln（x-1）的图象与函数y=k（x-1）-1的图象没有交点．
①当k≤0时，由于函数y=ln（x-1）图象与函数y=k（x-1）-1图象有公共点，
∴函数f（x）有零点，不合要求．
②当k＞0时，f′(x)＝
−k＝1 x−1
＝−1+k−kx x−1
，k(x−
)1+k k x−1
令f′(x)＝0，得x＝
，∵x∈(1，k+1 k
)时，f′(x)＞0，x∈(1+k+1 k
，+∞)时，f′(x)＜0，1 k
∴f(x)在(1，1+
)内是增函数，在[1+1 k
，+∞)上是减函数，1 k
∴f（x）的最大值是f(1+
)＝−lnk，1 k
∵函数f（x）没有零点，∴-lnk＜0，求得k＞1．
综上可得，实数k的取值范围为（1，+∞）．