在三角形ABC中,D、E是BC上的三等分点,点M是AC上的中点,BM交AD于G,交AE于H.求BG:GH:HM的比值

问题描述:

在三角形ABC中,D、E是BC上的三等分点,点M是AC上的中点,BM交AD于G,交AE于H.求BG:GH:HM的比值

过M点作BC的平行线,交AD于N点,交AE于P点
MN//BC,
所以NM=1/2DC=1/3BC=BD,PM=1/2EC=1/6BC
∠NMG=∠GBD, ∠NGM=∠BGD,NM=BD,
所以△BDG=△NGM,BG=GM
∠PMH=∠HBE,∠BHE=∠PHM,∠HEB=∠HPM,
所以△HPM∽△HBE,
BH:HM=(BG+GH):(GM-GH)=BE:PM=2/3BC:1/6BC=4:1
且BG=GM
得到GH=3/5GM,
可推出HM=GM-GH=2/5GM
所以
BG:GH:HM=BG:3/5GM:2/5GM=5:3:2