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已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且有limn→∞（a11+q-qn）=1/2，求首项a1的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 19:21:51

问题描述：

已知等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，且有

lim

n→∞

（

a1

1+q

-qⁿ）=

1

2

，求首项a₁的取值范围．

答

lim

n→∞

（

a1

1+q

-qⁿ）=

1

2

，
∴

lim

n→∞

qⁿ一定存在．∴0＜|q|＜1或q=1．
当q=1时，

a1

2

-1=

1

2

，∴a₁=3．
当0＜|q|＜1时，由

lim

n→∞

（

a1

1+q

-qⁿ）=

1

2

得

a1

1+q

=

1

2

，∴2a₁-1=q．
∴0＜|2a₁-1|＜1．∴0＜a₁＜1且a₁≠

1

2

．
综上，得0＜a₁＜1且a₁≠

1

2

或a₁=3．