已知二次函数y=x2-2（m-1）x+m2-2． （1）证明：不论m为何值，二次函数图象的顶点均在同一直线上，求出此直线的函数解析式； （2）若二次函数图象在x轴上截得的线段长为4，求出此二次函数
问题描述：
已知二次函数y=x2-2（m-1）x+m2-2．
（1）证明：不论m为何值，二次函数图象的顶点均在同一直线上，求出此直线的函数解析式；
（2）若二次函数图象在x轴上截得的线段长为4，求出此二次函数的解析式．
答
（1）二次函数的顶点坐标为（m-1，2m-3），
顶点坐标在某一直线的图象上，
即横坐标为x=m-1，
纵坐标为y=2m-3=2（x+1）-3
y=2x-1．
故不论m为何值，二次函数的顶点都在直线y=2x-1上；
（2）设二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），
由已知|x2-x1|=4，再利用根与系数的关系，得
x1+x2＝2(m−1)
x1 x2 ＝m2−2
又（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2
∴16=4（m-1）2-4（m2-2）
解得：m=-
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∴原二次函数的解析式为：y=x2+3x-
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