已知函数f(x)=x2+2x+alnx在(0,1)上单调,则实数a的取值范围是(  ) A.a≥0 B.a≤-4 C.a≤-4或a≥0 D.-4≤a≤0

问题描述:

已知函数f(x)=x2+2x+alnx在(0,1)上单调,则实数a的取值范围是(  )
A. a≥0
B. a≤-4
C. a≤-4或a≥0
D. -4≤a≤0

求导数可得f′(x)=2x+2+

a
x
(x>0).
∵函数f(x)在(0,1)上单调,
∴f′(x)≥0在(0,1)上恒成立,或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立.
由2x+2+
a
x
≥0,x∈(0,1),可得a≥(-2x2-2x)max,x∈(0,1).
令g(x)=-2x2-2x=−2(x+
1
2
)2+
1
2
,则g(x)在(0,1)单调递减.
∴g(x)<g(0)=0.∴a≥0.
由2x+2+
a
x
≤0,x∈(0,1),可得a≥(-2x2-2x)min,x∈(0,1).
令g(x)=-2x2-2x=−2(x+
1
2
)2+
1
2
,则g(x)在(0,1)单调递减.
∴g(x)>g(1)=-4.∴a≤-4.
综上可得实数a的取值范围是:a≤-4或a≥0
故选C.