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在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2c−ba＝cosB/cosA． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若a＝25，求△ABC面积的最大值．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 18:59:15
问题描述：

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

2c−b
a
＝
cosB
cosA
．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a＝2
5
，求△ABC面积的最大值．

答

（Ⅰ）∵

2c−b
a
＝
cosB
cosA
，
所以（2c-b）•cosA=a•cosB
由正弦定理，得（2sinC-sinB）•cosA=sinA•cosB．
整理得2sinC•cosA-sinB•cosA=sinA•cosB．
∴2sinC•cosA=sin（A+B）=sinC．
在△ABC中，sinC≠0．
∴cosA＝
1
2
，∠A＝
π
3
．
（Ⅱ）由余弦定理cosA＝
b2+c2−a2
2bc
＝
1
2
，a＝2
5
．
∴b2+c2-20=bc≥2bc-20
∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．
∴三角形的面积S＝
1
2
bcsinA≤5
3
．
∴三角形面积的最大值为5
3
．

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