已知函数f(x)=lnx-x-a有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
问题描述:
已知函数f(x)=lnx-x-a有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
答
函数f(x)=lnx-x-a有两个不同的零点,
∴f(x)=lnx-x-a=0有两个不同的根,
∴lnx=x+a,
令g(x)=lnx,h(x)=x+a,
在同一坐标系中画出两个函数的图象,如图,
当直线y=x+a,与曲线y=lnx相切时,设切点为(x0,x0+a),
∴k=1=g′(x0)=
1 x0
∴x0=1,
∴g(x0)=0=1+a,
∴a=-1,
故当a<-1函数g(x),h(x)的图象有两个不同的交点,
实数a的取值范围为(-∞,-1)