已知二次函数f（x）=ax2+bx（a、b为常数且a≠0）满足条件：f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有等根． （1）求f（x）的解析式； （2）函数f（x）在（x∈[t，t+1]，t∈R）的最大值为u（t），求u
问题描述：
已知二次函数f（x）=ax2+bx（a、b为常数且a≠0）满足条件：f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在（x∈[t，t+1]，t∈R）的最大值为u（t），求u（t）解析式．
答
（1）∵f（-x+5）=f（x-3），∴函数的对称轴为x=1，即−
=1b 2a
∵方程f（x）=x有等根，∴△=（b-1）2=0
∴b=1，a=-
1 2
∴f(x)＝−
x2+x．1 2
（2）∵f(x)＝−
x2+x的开口向下，对称轴为x=11 2
∴当t≥1时，函数f（x）在[t，t+1]上为减函数，最大值为u（t）=f（t）=-
t2+t1 2
当0＜t＜1时，函数f（x）最大值为u（t）=f（1）=
1 2
当t≤0时，函数f（x）在[t，t+1]上为增函数，最大值为u（t）=f（t+1）=-
t2+1 2
1 2
∴u(t)＝
(0＜t＜1)
−
t2+t (t≥ 1)1 2
1 2 −
t2+1 2
(t≤ 0)1 2