已知定义域为R的函数f（x）=−2x+b2x+1+2是奇函数． （1）求b的值； （2）用定义法证明函数f（x）在R上是减函数； （3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．
问题描述：
已知定义域为R的函数f（x）=
是奇函数．−2x+b
2x+1+2
（1）求b的值；
（2）用定义法证明函数f（x）在R上是减函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．
答
（1）∵定义域为R的函数f（x）=
是奇函数．−2x+b
2x+1+2
∴f（0）=
=0，解得b=1．−1+b 4
（2）由（1）可得：f（x）=
=−2x+1
2x+1+2
−1
2x+1
．1 2
∀x1＜x2，则2x2＞2x1＞0，
∴f（x1）-f（x2）=
−1
2x1+1
−(1 2
−1
2x2+1
)=1 2
＞0，
2x2−2x1
(2x1+1)(2x2+1)
∴f（x1）＞f（x2）．
∴函数f（x）在R上是减函数．
（3）∵函数f（x）是R上的奇函数，对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，
∴f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2），
∵函数f（x）在R上是减函数，
∴t2-2t＞k-2t2，
∴k＜3t2-2t=3(t−
)2−1 3
，任意的t∈R恒成立．1 3
∴k＜−
．1 3
因此k的取值范围是k＜−
．1 3