在△ABC中,三内角A、B、C及其对边a、b、c,满足a2-b2=3bc,sinC=3sinB(Ⅰ)求角C的大小(Ⅱ)若c=6,求△ABC面积.

问题描述:

在△ABC中,三内角A、B、C及其对边a、b、c,满足a2-b2=

3
bc,sinC=
3
sinB
(Ⅰ)求角C的大小
(Ⅱ)若c=6,求△ABC面积.

(Ⅰ)∵在△ABC中,sinC=

3
sinB,∴根据正弦定理,得c=
3
b

又∵a2-b2=
3
bc,∴a2-b2=3b2,解之得a=2b
∴△ABC中,a:b:c=2:1:
3
,可得a2=b2+c2
△ABC是以a为斜边的直角三角形,
∵sinC=
c
a
=
3
2
,∴C=60°   …(5分)
(Ⅱ)由(I)得a:b:c=2:1:
3

∴根据c=6,得b=2
3

∴Rt△ABC面积S=
1
2
bc=
1
2
×6×2
3
=6
3
…(9分)