若方程(1/4)x+(1/2)x-1+a=0有正数解,则实数a的取值范围是 _.

问题描述:

若方程(

1
4
)x+(
1
2
)x-1+a=0有正数解,则实数a的取值范围是 ______.

设t=(

1
2
)x,则有:a=-[(
1
2
)
2x
+2(
1
2
)
x
]
=-t2-2t=-(t+1)2+1.
原方程有正数解x>0,则0<t=(
1
2
)
x
(
1
2
)
0
=1,
即关于t的方程t2+2t+a=0在(0,1)上有实根.
又因为a=-(t+1)2+1.
所以当0<t<1时有1<t+1<2,
即1<(t+1)2<4,
即-4<-(t+1)2<-1,
即-3<-(t+1)2+1<0,
即得-3<a<0.
故答案为:(-3,0)