已知函数f(x)＝a/x+lnx−1，a∈R． （1）若曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f（x）的单调区间； （2）若a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
问题描述：
已知函数f(x)＝
+lnx−1，a∈R．a x
（1）若曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
答
(1)直线y＝−x+1斜率kAB＝1，函数y＝f(x)的导数f′(x)＝−
+a x2
1 x
f′(1)＝−a+1＝−1，即a＝2 ∴f(x)＝
+lnx−1，f′(x)＝−2 x
+2 x2
＝1 x
x−2 x2 ∵f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)＝−
+2 x2
＝1 x
x−2 x2 由f′(x)＞0得x＞2，由f′(x)＜0得0＜x＜2． ∴函数f(x)的单调增区间(2，+∞)，单调减区间是(0，2)
（2）∵a＞0，f（x）＞0，对x∈（0，2e]恒成立，
即
+lnx−1＞0对x∈(0，2e]恒成立a x
设a＞x（1-lnx）=x-xlnx，x∈（0，2e]，
g′（x）=1-lnx-1=-lnx
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
当1＜x＜2e，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
∴当x=1时，函数在（0，2e]上取得最大值，
∴g（x）≤g（1）=1
∴a的取值范围是（1，+∞）