已知函数f(x)=a/x+lnx−1,a∈R. (1)若曲线y=f(x)在P(1,y0)处的切线平行于直线y=-x+1,求函数y=f(x)的单调区间; (2)若a>0,且对x∈(0,2e]时,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.

问题描述:

已知函数f(x)=

a
x
+lnx−1,a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在P(1,y0)处的切线平行于直线y=-x+1,求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若a>0,且对x∈(0,2e]时,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.

(1)直线y=−x+1斜率kAB=1,函数y=f(x)的导数f′(x)=−

a
x2
+
1
x

f′(1)=−a+1=−1,即a=2
∴f(x)=
2
x
+lnx−1,f′(x)=−
2
x2
+
1
x
x−2
x2
∵f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=−
2
x2
+
1
x
x−2
x2
由f′(x)>0得x>2,由f′(x)<0得0<x<2.
∴函数f(x)的单调增区间(2,+∞),单调减区间是(0,2)

(2)∵a>0,f(x)>0,对x∈(0,2e]恒成立,
a
x
+lnx−1>0对x∈(0,2e]恒成立

设a>x(1-lnx)=x-xlnx,x∈(0,2e],
g(x)=1-lnx-1=-lnx
当0<x<1时,g(x)>0,g(x)为增函数,
当1<x<2e,g(x)<0,g(x)为减函数,
∴当x=1时,函数在(0,2e]上取得最大值,
∴g(x)≤g(1)=1
∴a的取值范围是(1,+∞)