若函数f(x)=x2-2ax+2在区间[0,4]上至少有一个零点,求实数a的取值范围.

问题描述:

若函数f(x)=x2-2ax+2在区间[0,4]上至少有一个零点,求实数a的取值范围.

f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2
①若a≤0或a≥4,则在区间[0,4]上有零点的条件是:f(0)•f(4)≤0,解得a≥

9
4
,所以a≥4;
②若0<a<4,则在区间[0,4]上有零点的条件是:f(a)<0,且f(0),f(4)中有一个大于0,
∵f(0)=2>0,∴只要满足2-a2<0,就有零点,解得
2
<a<4.
综上所述,实数a的取值范围是(
2
,+∞).