如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上． （1）证明：B、C、E三点共线； （2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=2OM；
问题描述：
如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．
（1）证明：B、C、E三点共线；
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=
OM；
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（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=
OM1是否成立？若是，请证明；若
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不是，说明理由．
答
（1）证明：∵AB是直径，
∴∠BCA=90°，
而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，
∴B、C、E三点共线；
（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图1，
∵CB=CA，CD=CE，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE，
∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF⊥AE，
又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，
∴ON=
BD，OM=1 2
AE，ON∥BD，AE∥OM；1 2
∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，
∴MN=
OM；
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（3）成立．
理由如下：如图2，连接BD1，AE1，ON1，
∵∠ACB-∠ACD1=∠D1CE1-∠ACD1，
∴∠BCD1=∠ACE1，
又∵CB=CA，CD1=CE1，
∴△BCD1≌△ACE1，
与（2）同理可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形，
从而有M1N1=
OM1．
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