如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,其顶点为D,连接BD,点P是线段BD上一个动点(不与B、D重合),过点P作y轴的垂线,垂足为E,连接BE.

（1）根据A,B,C三点的坐标,可以运用交点式法求得抛物线的解析式．再根据顶点的坐标公式求得抛物线的顶点坐标；
（2）根据B,D的坐标运用待定系数法求得直线BD的解析式,再根据三角形的面积公式以及y与x之间的函数关系式得到s与x之间的函数关系式．点P的横坐标即x的值位于点D和点B的横坐标之间．根据二次函数的顶点式即可分析其最值；
（3）根据（2）中的坐标得点E和点C重合．过P′作P′H⊥y轴于H,P′F交y轴于点M．要求P′H和OH的长．P′H的长可以运用直角三角形P′CM的面积进行计算．设MC=m,则MF=m,P′M=3-m,P′E= 32．根据勾股定理列方程求解,得到直角三角形P′CM的三边后,再根据直角三角形的面积公式进行计算．要求OH的长,已知点C的坐标,只需根据勾股定理进一步求得CH的长即可．把求得的点P的坐标代入抛物线解析式即可判断点P′是否在该抛物线上．
（1）设y=a（x+1）（x-3）,（1分）
把C（0,3）代入,得a=-1,（2分）
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．（4分）
顶点D的坐标为（1,4）．（5分）
（2）设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0）,把B、D两点坐标代入,
得 {3k+b=0k+b=4,（6分）
解得k=-2,b=6．
∴直线AD解析式为y=-2x+6．（7分）
s= 12PE•OE= 12xy= 12x（-2x+6）=-x2+3x,（8分）
∴s=-x2+3x（1＜x＜3）（9分）
s=-（x2-3x+ 94）+ 94=-（x- 32）2+ 94．（10分）
∴当 x=32时,s取得最大值,最大值为 94．（11分）
（3）当s取得最大值,x=32,y=3,
∴ P(32,3)．（5分）
∴四边形PEOF是矩形．
作点P关于直线EF的对称点P′,连接P′E、P′F．
法一：过P′作P′H⊥y轴于H,P′F交y轴于点M．
设MC=m,则MF=m,P′M=3-m,P′E= 32．
在Rt△P′MC中,由勾股定理,(32)2+(3-m)2=m2．
解得m= 158．
∵CM•P′H=P′M•P′E,
∴P′H= 910．
由△EHP′∽△EP′M,可得 EHEPʹ=EPʹEM,EH= 65．
∴OH=3- 65=95．
∴P′坐标 (-910,95)．（13分）
法二：连接PP′,交CF于点H,分别过点H、P′作PC的垂线,垂足为M、N．
易证△CMH∽△HMP．
∴ CMMH=MHPM=12．
设CM=k,则MH=2k,PM=4k．
∴PC=5k= 32,k= 310．
由三角形中位线定理,PN=8k= 125,P′N=4k= 65．
∴CN=PN-PC= 125- 32= 910,即x=- 910．
y=PF-P′N=3- 65=95
∴P′坐标（- 910,95）．（13分）
把P′坐标（- 910,95）代入抛物线解析式,不成立,所以P′不在抛物线上．（14分）你真棒